Maria Agnesi

Take a convex pentagon FGHIJ, and prolong its sides until they intersects in points A, B, C, D and E, forming a pentagram. Construct the circumcircles of triangles AHG, DIH, BJI, EFJ and CGF. Then the five new points, F', G', H', I', J' resulting from the intersection of two consecutive circumferences are concycle, i.e., the points lie on the same circumference.

볼록오각형 FGHIJ의 각 변을 연장한 직선이 만나는 점을 위 그림과 같이 A, B, C, D, E라고 하자. 이때 오각형의 각 변에 인접한 다섯 개의 삼각형의 각 외접원이 만나는 점 F', G', H', I', J'는 한 원 위에 있다.

Proof.

1. ∠II'J'＝∠IBJ'＝∠EJJ'＝∠EFJ'. (∵ The property of an inscribed square.)
   ⇒ ∠ABJ'+∠J'FA＝180˚.
   ⇒ The ponts A, B, J' and F are concycle.
2. ∠G'AH＝∠G'GC＝∠G'FC. (∵ The property of an inscribed square.)
   ⇒ ∠G'AB+∠BFG'＝180˚.
   ⇒ The ponts A, B, F and G' are concycle.
3. The points A, B, J', F and G' are concycle. (∵ 1., 2., and the uniqueness of the circumscribed circle of a triangle.)
   ⇒ The points A, B, J' and G' are concycle.
   ⇒ ∠AG'K＝∠ABJ'＝∠IBJ'＝∠II'J'.
4. ∠H'G'A＝∠H'HA＝∠H'I'I. (∵ The points H, H', I' and I are concycle.)
5. ∠H'I'J'＝∠H'I'I + ∠II'J'＝∠H'G'A + ∠AG'K＝∠H'G'K
   ⇒ ∠H'I'J' + ∠J'G'H' = 180˚.
   ⇒ The points H', I', J' and G' are concycle.
6. By the same way, we also have that H', I', J' and F' are concycle.
7. By the uniqueness of the circumscribed circle of a triangle, F', G', H', I' and G' are concycle. EOP. (Edited by Maria Agnesi & Alice)

1. ∠II'J'＝∠IBJ'＝∠EJJ'＝∠EFJ'. (∵ 원에 내접하는 사각형의 성질)
   ⇒ ∠ABJ'+∠J'FA＝180˚.
   ⇒ 점 A, B, J', F는 한 원 위에 있다.
2. ∠G'AH＝∠G'GC＝∠G'FC. (∵ 원에 내접하는 사각형의 성질)
   ⇒ ∠G'AB+∠BFG'＝180˚.
   ⇒ 점 A, B, F, G'는 한 원 위에 있다.
3. 점 A, B, J', F, G'는 한 원 위에 있다. (∵ 1., 2., 삼각형에 외접하는 원의 유일성)
   ⇒ 점 A, B, J', G'는 한 원 위에 있다.
   ⇒ ∠AG'K＝∠ABJ'＝∠IBJ'＝∠II'J'.
4. ∠H'G'A＝∠H'HA＝∠H'I'I. (∵ 점 H, H', I', I가 한 원 위에 있다.)
5. ∠H'I'J'＝∠H'I'I + ∠II'J'＝∠H'G'A + ∠AG'K＝∠H'G'K
   ⇒ ∠H'I'J' + ∠J'G'H' = 180˚.
   ⇒ 점 H', I', J', G'는 한 원 위에 있다.
6. 같은 방법으로 H', I', J', F'가 한 원 위에 있음을 보일 수 있다.
7. 삼각형의 외접원은 유일하므로 점 F', G', H', I', G'은 한 원 위에 있다. 증명 끝. (편집 : Maria Agnesi & Alice)

But this theorem does not hold for 7 points; You can see a counterexample as the following; (Drawn by GSP)

Posted by Maria Agnesi