The following series converges.
To prove this fact, we first consider the identity:
Substituting x by 1 and taking summation, we have
or
Thus ∑|sin(n)| is bounded and ∑(sin(n))/n converges by Abel-Dedekind-Dirichlet theorem. Furthermore, we can prove by the similar way that ∑(sin(nx))/n converges for all x.
Posted by Maria Agnesi
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전에 Dirichlet 판정법을 이용하여 다음 급수가 수렴함을 증명하였다. (관련글 보기) 오늘은 위 급수와 비슷하지만 급수가 아닌 특이적분을 살펴보겠다. 아래 적분은 Dirichlet(디리끌레) 적분으로 불리는 여러가지 적분 중 한 형태이다. 이 적분은 적분 구간의 아래끝과 위끝이 모두 특이점이다. 즉 0과 ∞가 모두 특이점이다. Fourier 적분법 또는 적분과 미분연산의 교환법을 이용하여 이 등식을 증명할 수 있다. 여기서는 두 번째 방법을...
I already have proven that the following series converges. In this article, I will show that: and Lemma 1. The following equations hold: Proof. Define sn as then a simple calculation shows that: Dividing both sides by 2sin(x/2), the conclusion follows....
Abel-Dedekind-Dirichlet.pdf