임의의 유한 나눗셈 환(division ring)은 체이다. 이 정리는 Joseph Wedderburn(1882-1948)에 의하여 처음 증명되었으며, Ernst Witt (1911-1991)에 의하여 더 간략한 증명이 제시되었다. 후에 Emil Artin(1898-1962)과 Max Zorn(1906-1993)은 이 정리를 일반화하여, 임의의 유한 교대 나눗셈 환이 체임을 밝혔다.
유한 나눗셈 환이 체임을 밝히기 위하여 먼저 다음과 같은 보조정리가 필요하다.
보조정리 1. V가 유한체 F 위에서의 n차원 벡터공간이고 |F| = q 라고 하자. 그러면 V는 Fn과 동형이므로 |V| = qn이다. 특히 R이 체 F를 포함하는 유한 나눗셈 환이고 |F| = q 이면 R는 F 위에서의 벡터 공간이므로 |R| = qn, n = dimF(R)이다.
보조정리 2. q가 1보다 큰 정수라고 하자. 그리고 n, d가 양의 정수라고 하자. 이때 qn-1이 qd-1로 나누어 떨어질 필요충분조건은 d가 n의 약수인 것이다. 증명은 다음과 같다: n = dk이면
이므로 qn-1이 qd-1로 나누어 떨어진다. 역으로, qn-1이 qd-1로 나누어 떨어진다고 하자. 그러면 qn ≡ 1 mod (qd-1) 이므로 Z(q^d)-1에서의 단위원들의 군 U(Z(q^d)-1)에서 q의 위수는 n의 약수이다. 그런데 q의 지수 중에서 법 qd-1에 대하여 1과 합동인 것 중 가장 작은 것은 d이므로 정리의 결과를 얻는다.
보조정리 3. n이 양의 정수이고
라고 하자. 그러면 j = 0, 1, 2, …, n-1 에 대하여 다음을 얻는다.
이러한 ζnj들은 n제곱이 1이 되는 복소수들이다. 따라서 이 복소수들을 "단위원의 n차 근"이라고 부른다. 달리 말하면 이 복소수들은 모두 n차 다항 방정식 xn-1 = 0 의 근이다. 만약 j가 n과 서로소가 아니면 ζnj의 지수 중 가자 작은 것은 1이다. 만약 j가 n과 서로소이면 군 C＼{0}에서 ζnj의 위수는 n이다. 그러한 ζnj들을 "단위원의 n차 원시근"이라고 부른다. 단위원의 n차 원시근을 근으로 갖는 다항식은
이다. 이 다항식을 "n차 원분다항식(cyclotomic polynomial)"이라고 부른다. 원분다항식의 정의에 의하여
이 성립함을 알 수 있다. 따라서 Φn(x)는 정수 계수를 갖는다. 1차부터 6차까지의 원분다항식은 다음과 같다.
정리 4. 임의의 유한 나눗셈 환은 체이다.
증명. D가 유한 나눗셈 환이라고 하자. 그리고 D의 중심을 F라고 하자. 여기서 중심이란 D의 모든 원소와 교환(commute)되는 원소들의 모임을 의미한다. 그러면 F는 유한 체이다. |F| = q 라고 하자. D는 F 위에서의 벡터 공간이 된다. D의 차원이 n이라고 하자. 그러면 보조정리 1에 의하여 |D| = qn이다. 또한, 만약 d가 D의 원소이면 d와 교환되는 원소들의 모임 Z(d)는 F를 포함하는 나눗셈 환이 되며, m ≤ n인 적당한 m이 존재하여 |Z(d)| = qm을 만족시킨다. 특히 d가 F의 원소가 아니면 이 부등식은 등호가 성립하지 않는 부등식이 된다. 따라서 곱셈군 D＼{0}의 류 방정식(class equation)은
이다. 단, 위 식에서 d1, d2, …, dr은 D＼{0}에서 켤레류(conjugacy class)의 표현의 집합이며, 하나 이상의 원소를 가지고 있고, 각 i에 대하여 |Z(di)| = qm_i이다. 나눗셈
이 정수이므로, 보조정리 2에 의하여 각 mi는 n의 인수이다. i = 1, 2, 3, …, r 에 대하여 다음과 같은 다항식의 분수식을 생각하자.
분자는 d|n을 만족시키는 모든 Φd(x)의 곱이며 분모는 d|mi 또는 d=n을 만족시키는 모든 Φd(x)의 곱이다. 즉 위 식은 n의 약수이면서 mi의 약수도 아니고 n 자신도 아닌 모든 d에 대하여 Φd(x)의 곱이다. 따라서 이 식은 정수 계수를 갖는 다항식이다. 정수 q에 대하여 x = q를 대입하면 Φn(q)가 q-1의 약수이다. 왜냐하면 Φn(q)는 모든 항의 약수가 되기 때문이다. 따라서 |Φn(q)| ≤ q-1 이다. 한편 C의 단위원 위에서 1은 양의 정수 q에 가장 가까운 점이므로, 단위원의 임의의 n차 원시근 ζnj에 대하여
를 얻는다. 여기서 ζnj ≠ 1이면 첫 번째 부등식은 등식이 성립하지 않는 부등식이 된다. 따라서 |q-ζnj|들의 곱 |Φn(q)|은 q-1보다 크거나 그와 같으며, 등호는 n = 1일 때에만 성립한다. |Φn(q)|는 아무리 커도 q-1보다 커지지 않으며, 동시에 아무리 작아도 q-1보다 작지 않으므로 |Φn(q)| = q-1이다. 따라서 n = 1이다. 그런데 n은 중심 F 위에서의 벡터 공간 D의 차원이므로 D = F 이다. 즉 D는 체이다. 끝.
References
- Wedderburn's Theorem n Division Rings: A finite division ring is a field. http://math.colgate.edu/math320/dlantz/extras/Wedderburn.pdf
- Proof of Wedderburn's theorem about finite division rings. http://everything2.com/title/proof+of+Wedderburn%2527s+theorem+about+finite+division+rings
- Division ring. http://en.wikipedia.org/wiki/Division_ring
- Every finite division ring is a field. http://www.maria-agnesi.com/69
Posted by Maria Agnesi
